問題の解答

正解は,「変えない場合当たる確率は1/3,変えた場合は2/3で,回答を変えた方がよい」です.

自分も最初は「回答を変えても変えなくても1/2で同じことだろう」と間違えました.

解説の中でじぶんがわかりやすいと思ったのはこういう感じ.

扉をA,B,Cとして,A,B,Cそれぞれが正解である確率はいずれも1/3.
わかりやすくするため回答者は毎回Aを選択するとする.

するとこの時起こり得る場合は,


1.Aがあたり
2.Bがあたり
3.Cがあたり


の3通りで,正解を選択している確率は当然1/3.
ここで司会者が扉を開くとどうなるか.


イ.Aがあたりなので,司会者はBかCを一つ開く.→回答を変えないとあたり.
ロ.Bがあたりなので,司会者はCを開く.→回答を変えるとあたり.
ハ.Cがあたりなので,司会者はBを開く.→回答を変えるとあたり.


上のイ・ロ・ハが起こる場合はそれぞれ1/3なので,「変えない場合当たる確率は1/3,変えた場合は2/3で,回答を変えた方がよい」となる.

これでも納得がいかなければ,このクイズを100回続けてやってみることを想像してみてもいいかもしれません.
回答者は毎回Aを選び,正解は,A,B,Cとローテーションするとする.
すると回答者がずっとAから回答を変えないと3回に一回しか正解しませんが扉が開いた後必ず回答を変えれば3回に2回は正解します.

なんでも有名な数学者であっても「変えても変えなくても正解確率は1/2だ」という間違いを犯す人が多かったとかで有名な問題らしいです.
このクイズを実際にやっていたアメリカの番組の名前からとって,「モンティ・ホール・ジレンマ」というらしい.この番組に出演した多くのゲスト回答者もほとんどは自分の回答を変えなかったらしいです.